Большая советская энциклопедия - кинематика

т.д. Движение рассматриваемого объекта считается заданным (известным), если известны уравнения, называемые уравнениями движения (или графики, таблицы), позволяющие определить положение этого объекта по отношению к системе отсчета в любой момент времени. Основная задача К. заключается в установлении (при помощи тех или иных математических методов) способов задания движения точек или тел и в определении по уравнениям их движений соответствующих кинематических характеристик движения, таких, как траектории, скорости и ускорения движущихся точек, угловые скорости и угловые ускорения вращающихся тел и др. Для задания движения точки пользуются одним из 3 способов: естественным, координатным или векторным: а) естественный (или траекторный), применяемый, когда известна траектория точки по отношению к выбранной системе отсчета. Положение, точки определяется расстоянием s = O1M от выбранного на траектории начала отсчета O1, измеренным вдоль дуги траектории и взятым с соответствующим знаком (рис. 1), а закон движения дается уравнением s = f (t), выражающим зависимость s от времени t. Например, если задано, что s = 3t2—1, то в начальный момент времени t0 = 0, S0 = —1 м (точка находится слева от начала О на расстоянии 1 м), в момент t1 = 1 сек, S1 = 2 м (точка справа от O1 на расстоянии 2 м) и т.д. Зависимость s от t может быть также задана графиком движения, на котором в выбранном масштабе отложены вдоль оси t время, а вдоль оси s — расстояние (рис. 2), или таблицей, где в одном столбце даются значения t, а в другом соответствующие им значения s (подобный способ применяется, например, в железнодорожном расписании движения поезда). б) Координатный, при котором положение точки относительно системы отсчета определяется какими-нибудь тремя координатами, например прямоугольными декартовыми х, у, z, а закон движения задается 3 уравнениями х = f1(t), у = f2(t), z = f3(t). Исключив из этих уравнений время t, можно найти траекторию точки. в) Векторный, при котором положение точки по отношению к системе отсчета определяется ее радиус-вектором r, проведенным от начала отсчета до движущейся точки, а закон движения дается векторным уравнением r = r (t). Траектория точки — годограф вектора r. Основными кинематическими характеристиками движущейся точки являются ее скорость и ускорение, значения которых определяются по уравнениям движения через первые и вторые производные по времени от s или от х, у, z, или от r (см. Скорость, Ускорение). Способы задания движения твердого тела зависят от вида, а число уравнений движения — от числа степеней свободы тела (см. Степеней свободы число). Простейшими являются поступательное движение и вращательное движение твердого тела. При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, и его движение задается и изучается так же, как движение одной точки. При вращательном движении вокруг неподвижной оси z (рис. 3) тело имеет одну степень свободы; его положение определяется углом поворота j, а закон движения задается уравнением j = f (t). Основными кинематическими характеристиками являются угловая скорость w=dj/dt и угловое ускорение e = dw/dt тела. Величины w и e изображаются в виде векторов, направленных вдоль оси вращения. Зная w и e, можно определить скорость и ускорение любой точки тела. Более сложным является движение тела, имеющего одну неподвижную точку и обладающего 3 степенями свободы (например, гироскоп, или волчок). Положение тела относительно системы отсчета определяется в этом случае какими-нибудь 3 углами (например, Эйлера углами: углами прецессии, нутации и собственного вращения), а закон движения — уравнениями, выражающими зависимость этих углов от времени. Основными кинематическими характеристиками являются мгновенная угловая скорость w и мгновенное угловое ускорение e тела. Движение тела слагается из серии элементарных поворотов вокруг непрерывно меняющих свое направление мгновенных осей вращения ОР, проходящих через неподвижную точку О (рис. 4). Самым общим случаем является движение свободного твердого тела, имеющего 6 степеней свободы. Положение тела определяется 3 координатами одной из его точек, называемых полюсом (в задачах динамики за полюс принимается центр тяжести тела), и 3 углами, выбираемыми так же, как для тела с неподвижной точкой; закон движения тела задается 6 уравнениями, выражающими зависимости названных координат и углов от времени. Движение тела слагается из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг этого полюса, как вокруг неподвижной точки. Таким, например, является движение в воздухе артиллерийского снаряда или самолета, совершающего фигуры высшего пилотажа, движение небесных тел и др. Основными кинематическими характеристиками являются скорость и ускорение поступательной части движения, равные скорости и ускорению полюса, и угловая скорость и угловое ускорение вращения тела вокруг полюса. Все эти характеристики (как и кинематические характеристики для тела с неподвижной точкой) вычисляются по уравнениям движения; зная эти характеристики, можно определить скорость и ускорение любой точки тела. Частным случаем рассмотренного движения является плосконаправленное (или плоское) движение твердого тела, при котором все его точки движутся параллельно некоторой плоскости. Подобное движение совершают звенья многих механизмов и машин. В К. изучают также сложное движение точек или тел, то есть движение, рассматриваемое одновременно по отношению к двум (и более) взаимно перемещающимся системам отсчета. При этом одну из систем отсчета рассматривают как основную (ее еще называют условно неподвижной), а перемещающуюся по отношению к ней систему отсчета называют подвижной; в общем случае подвижных систем отсчета может быть несколько. При изучении сложного движения точки ее движение, а также скорость и ускорение по отношению к основной системе отсчета называют условно абсолютными, а по отношению к подвижной системе — относительными. Движение самой подвижной системы отсчета и всех неизменно связанных с ней точек пространства по отношению к основной системе называют переносным движением, а скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, называют переносной скоростью и переносным ускорением. Например, если основную систему отсчета связать с берегом, а подвижную с пароходом, идущим по реке, и рассмотреть качение шарика по палубе парохода (считая шарик точкой), то скорость и ускорение шарика по отношению к палубе будут относительными, а по отношению к берегу — абсолютными; скорость же и ускорение той точки палубы, которой в данный момент касается шарик, будут для него переносными. Аналогичная терминология используется и при изучении сложного движения твердого тела. Основные задачи К. сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, т. е. na= noтн+ nпер, а абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений — относительного, переносного и поворотного, или кориолисова (см. Кориолиса ускорение), т. е. wa = woтн+wпер+wkop. Для твердого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными, абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений (см. Винтовое движение). В К. непрерывной среды устанавливаются способы задания движения этой среды, рассматривается общая теория деформаций и определяются так называемые уравнения неразрывности, отражающие условия непрерывности среды. Лит. см. при ст. Механика. С. М. Тарг.